Introducción a la teoría de conjuntos

¡Hola!

Aquí estamos de nuevo Gumersindo Labarba y Teresa Fresa. Antes de nada queríamos comentaros que nos hemos visto obligados a cambiar de opinión con respecto a nuestra participación en este proyecto del Oso cavernario. Hemos descubierto que, aunque el jefe no lo habla, sí entiende idioma humano. Por eso (y por las amenazas de quedarnos sin bayas) no haremos lo que os dijimos aquí sino que tendremos que hacer el esfuerzo de contaros algo que merezca la pena.

Dicho esto, hoy hemos decidido explicaros brevemente las bases de la Teoría de Conjuntos (una rama de la lógica matemática); un tema apasionante. 

La teoría de conjuntos nace a finales del siglo XIX a manos, principalmente, de George Cantor. En la elaboración de esta van a ser fundamentales las aportaciones de, entre muchos otros, Dedekind, Frege, Peano, Whitehead, Russell, Hilbert, Zermelo, …

 Las nociones primitivas de la teoría de conjuntos son simplemente dos:

 - Los conjuntos: Son agrupaciones de cosas. Las cosas que pertenecen a un conjunto son sus elementos (No es que haya dos tipos de entidades distintas, todo son conjuntos. También los elementos de los conjuntos.) Qué tipos de conjuntos son válidos nos lo dicta la Teoría de conjuntos.

En “Fundamentos de una teoría general de las variedades”, § 1, nota 1, Cantor dice: “Por 'variedad' o 'conjunto' entiendo en general cualquier pluralidad que se deja concebir como unidad, es decir, cualquier agregado de elementos determinados que en virtud de una ley pueden ser combinados en un todo.”

- La noción de pertenencia (de un elemento a un conjunto): Se representa mediante ∈.

Podemos representar los axiomas de teoría de conjuntos con una lógica de primer orden, necesitamos únicamente términos que representen los conjuntos, constantes, variables y una única relación binaria: la pertenencia. Aunque es Cantor quien propone la teoría de conjuntos, es Frege quien la axiomatiza. 

Los axiomas básicos de esta teoría son:

·         Principio de extensionalidad: Lo que caracteriza los conjuntos, y, por tanto, nos permite diferenciar unos de otros, es qué elementos poseen. Cuando dos conjuntos poseen los mismos elementos, son el mismo conjunto. Esto puede expresarse del siguiente modo: 

 

·         Principio de comprensión (idea básica de Frege): Dada cualquier propiedad, siempre existe un conjunto formado por todos los elementos que cumplen tal propiedad. Este principio es problemático, en la medida en que nos permite considerar conjuntos que se pertenecen a sí mismos. Quién descubrió que podía deducirse una contradicción de esta teoría, que por lo tanto era inconsistente, fue Russell. Este advierte que pertenecerse a sí mismo es una propiedad, luego debe existir el conjunto de todos los conjuntos que se pertenecen a sí mismos, y del mismo modo, el conjunto de todos los conjuntos que NO se pertenecen a sí mismos. Este último es el que nos interesa:

El problema está, entonces, en aceptar este principio sin restricciones. Se hace patente de este modo la necesidad de refinar la teoría, sin que se deje de considerar los conjuntos importantes que se había logrado nombrar. Cualquier propiedad no puede servir para definir un conjunto.

Una propuesta de solución fue la teoría de tipos, de Russell y Whitehead. Construyen un lenguaje jerarquizado en el que la única forma de referirse, o de construir, conjuntos es mediante elementos de los niveles inferiores. Esta teoría, debido a su enorme complejidad, no terminó de prosperar. La propuesta que sí tuvo éxito terminó de configurarse durante el primer tercio del siglo XX:

Se trata de la teoría axiomática de conjuntos. (Existen dos teorías axiomáticas de conjuntos, una desarrollada por Zermelo y Fraenkel, y otra por Gödel, Von Neumman y Bernays.  No vamos a exponer sus diferencias, pues en sus aspectos más importantes no existen discrepancias relevantes. Vamos a considerar aquí la primera.)

¿Se trata de esta nueva teoría de una teoría consistente? 

Sabemos, gracias al teorema de Incompletitud de Gödel que dada cualquier teoría con una cierta cantidad de aritmética no podemos realizar, dentro de esa misma teoría, una demostración de su propia consistencia. (Representar la propia consistencia en una teoría es imposible.)

Por este motivo no podemos asegurar su consistencia. (Sí podemos, en cambio, demostrar su equi-consistencia). La intuición general, en cualquier caso, es la de que la teoría de conjuntos sí es consistente. Sabemos, por los teoremas de corrección y completitud, que esta teoría es satisfacible. Debe haber, por lo tanto, un modelo que haga verdaderas las fórmulas de esa teoría: Y todos tenemos, parece, una idea bastante clara sobre cuál es este modelo: Los números naturales.

La teoría axiomática de conjuntos (ZF) se presenta, entonces, como una teoría axiomática:

¿Qué son los ordinales?

Hemos dicho que existe un conjunto formado por todos los números naturales, el conjunto ω. Este es un conjunto infinito y transitivo cuyos elementos son también transitivos y están bien ordenados. Podemos seguir aplicando axiomas sobre este conjunto y seguir añadiendo elementos de forma indefinida, obteniendo así conjuntos infinitos cada vez mayores. 

Podemos coger todos los números naturales y crear el conjunto de todos los PARES de los números naturales. Hacemos a continuación, su conjunto potencia, y de entre sus elementos nos quedamos con los pares que representen buenos órdenes. Obtenemos de este modo el conjunto de todos los ordinales que representan buenos órdenes para los números naturales. Podemos decir, por lo tanto, que existe un conjunto formado por todos los ordinales enumerables, y que se trata de un conjunto transitivo, bien ordenado mediante la noción de pertenencia, y que se corresponde a su vez con un ordinal (un ordinal que no puede ser ya enumerable pues los contiene a todos).

Demostramos de este modo que existen también los ordinales no enumerables. Hemos obtenido ya el primero, a partir de él habrá toda una infinidad creciente (resultado de la aplicación de los axiomas.)

Tenemos así una serie genuinamente infinita de ordinales, en la que se mantiene el buen orden, y en la que se observan una especie de “saltos” en el tamaño. La serie infinita de ordinales mencionada anteriormente se trata de una serie infinita, que sin embargo es de tamaño aleph 0.

Como adelanté, todos los ordinales que pertenecen a ella son del mismo tamaño, pueden establecerse biyecciones entre ellos. Sin embargo, existen además otro tipo de ordinales, ordinales más grandes o con un cardinal mayor. Es cuando llegamos a estos cuando se produce ese “salto” que nos lleva a un “infinito aún más grande”. 

Bueno, hoy vamos a dejarlo aquí. Si os portáis bien el próximo día os explicamos el Teorema de Cantor. ¡Yo que vosotros no me lo perdería! Es absolutamente fascinante. Esperamos que os hayáis divertido tanto como nosotros. Si tenéis cualquier duda o queréis saber más no dudéis en preguntarnos.